# e^x展开

def exp_taylar_expand(x, n, showLog = False):

    res = 1

    k = 1

    xx = x

    for i in range(1, n + 1):
        k *= i
        res += (xx / k)
        xx *= x

        if showLog:
            print(f'第{i}次迭代值 {res}')

    return res

exp_taylar_expand(1, 20, True)

第1次迭代值 2.0
第2次迭代值 2.5
第3次迭代值 2.6666666666666665
第4次迭代值 2.708333333333333
第5次迭代值 2.7166666666666663
第6次迭代值 2.7180555555555554
第7次迭代值 2.7182539682539684
第8次迭代值 2.71827876984127
第9次迭代值 2.7182815255731922
第10次迭代值 2.7182818011463845
第11次迭代值 2.718281826198493
第12次迭代值 2.7182818282861687
第13次迭代值 2.7182818284467594
第14次迭代值 2.71828182845823
第15次迭代值 2.718281828458995
第16次迭代值 2.718281828459043
第17次迭代值 2.7182818284590455
第18次迭代值 2.7182818284590455
第19次迭代值 2.7182818284590455
第20次迭代值 2.7182818284590455

2.7182818284590455

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 400)
y = np.exp(x)
plt.plot(x, y, '-', label=r'$e^x$')

p_f = np.vectorize(exp_taylar_expand)

y = p_f(x, 10)
plt.plot(x, y, '-', label=r'$P_n(x), n=10$')

y = p_f(x, 12)
plt.plot(x, y, '-', label=r'$P_n(x), n=12$')

y = p_f(x, 14)
plt.plot(x, y, '-', label=r'$P_n(x), n=14$')

plt.title('Taylor Expand')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

# ln((1 + x) / (1 - x))展开

def artanh_taylar_expand(x, n_terms, showLog = False):

    result = 0.0
    for n in range(n_terms):
        exponent = 2 * n + 1
        term = (x ** exponent) / exponent
        result += term
        if showLog:
            print(f'第{n + 1}次迭代值 {2 * result}')

    return 2 * result, result

artanh_taylar_expand(1 / 3, 20, True)

第1次迭代值 0.6666666666666666
第2次迭代值 0.691358024691358
第3次迭代值 0.6930041152263374
第4次迭代值 0.6931347573322881
第5次迭代值 0.6931460473908271
第6次迭代值 0.6931470737597851
第7次迭代值 0.6931471702560119
第8次迭代值 0.6931471795482411
第9次迭代值 0.693147180459244
第10次迭代值 0.6931471805498115
第11次迭代值 0.6931471805589162
第12次迭代值 0.6931471805598399
第13次迭代值 0.6931471805599343
第14次迭代值 0.693147180559944
第15次迭代值 0.693147180559945
第16次迭代值 0.6931471805599451
第17次迭代值 0.6931471805599451
第18次迭代值 0.6931471805599451
第19次迭代值 0.6931471805599451
第20次迭代值 0.6931471805599451

(0.6931471805599451, 0.34657359027997253)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-1, 1, 100)
y = np.arctanh(x)
plt.plot(x, y, '-', label=r'$arctanh(x)$')

p_f = np.vectorize(artanh_taylar_expand)

_, y = p_f(x, 2)
plt.plot(x, y, '-', label=r'$P_n(x), n=2$')

_, y = p_f(x, 4)
plt.plot(x, y, '-', label=r'$P_n(x), n=4$')

_, y = p_f(x, 6)
plt.plot(x, y, '-', label=r'$P_n(x), n=6$')

_, y = p_f(x, 10)
plt.plot(x, y, '-', label=r'$P_n(x), n=10$')


plt.title('Taylor Expand')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

/tmp/ipykernel_4595/3092700043.py:5: RuntimeWarning: divide by zero encountered in arctanh
  y = np.arctanh(x)

泰勒展开¶