求根 - 牛顿迭代¶

$$ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f^{'}(x_k)} $$

$$\sqrt{2} = 1.4142135623730951$$

In [2]:
def newton_get_root(f, df, x0, n):

    root = x0

    for i in range(1, n + 1):

        root = root - f(root) / df(root)
        print(f'第{i}次迭代找到根为 {root}')
In [3]:
def f1(x):
    return x * x - 2

def df1(x):
    return 2 * x

newton_get_root(f=f1, df=df1, x0=1, n=10)

第1次迭代找到根为 1.5
第2次迭代找到根为 1.4166666666666667
第3次迭代找到根为 1.4142156862745099
第4次迭代找到根为 1.4142135623746899
第5次迭代找到根为 1.4142135623730951
第6次迭代找到根为 1.414213562373095
第7次迭代找到根为 1.4142135623730951
第8次迭代找到根为 1.414213562373095
第9次迭代找到根为 1.4142135623730951
第10次迭代找到根为 1.414213562373095

$$ln(2)=0.6931471805599453$$

In [4]:
import math

def f2(x):
    return math.exp(x) - 2

def df2(x):
    return math.exp(x)

newton_get_root(f=f2, df=df2, x0=1, n=10)

第1次迭代找到根为 0.7357588823428847
第2次迭代找到根为 0.6940422999189153
第3次迭代找到根为 0.6931475810597714
第4次迭代找到根为 0.6931471805600254
第5次迭代找到根为 0.6931471805599453
第6次迭代找到根为 0.6931471805599453
第7次迭代找到根为 0.6931471805599453
第8次迭代找到根为 0.6931471805599453
第9次迭代找到根为 0.6931471805599453
第10次迭代找到根为 0.6931471805599453

简易牛顿迭代¶

把每次迭代使用的导数固定为函数在$x_0$的导数值

收敛速度变慢很多

$$ x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f^{'}(x_0)} $$

In [5]:
def newton_simple_get_root(f, df, x0, n):

    root = x0

    dfx0 = df(x0)

    for i in range(1, n + 1):
        root = root - f(root) / dfx0
        print(f'第{i}次迭代找到根为 {root}')
In [6]:
def f1(x):
    return x * x - 2

def df1(x):
    return 2 * x

newton_simple_get_root(f=f1, df=df1, x0=1, n=10)

第1次迭代找到根为 1.5
第2次迭代找到根为 1.375
第3次迭代找到根为 1.4296875
第4次迭代找到根为 1.407684326171875
第5次迭代找到根为 1.4168967450968921
第6次迭代找到根为 1.4130985519638084
第7次迭代找到根为 1.4146747931827024
第8次迭代找到根为 1.4140224079494415
第9次迭代找到根为 1.4142927228578732
第10次迭代找到根为 1.4141807698935047